函数的发展史

  函数是数学的重要的基础概念之一。进一步学习的数学分析，包括极限理论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本概念和研究对象的。其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具。
  函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材。函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中。

　　函数是中学数学的主体内容。它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用。
  后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容。数列可以看作整标函数，等差数列的通项反映的点对(n，an)都分布在直线y＝kx+b的图象上，等差数列的前n项和公式也可以看作关于的二次函数关系式，等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数。中学的其他数学内容也都与函数内容有关。
  

　　函数在中学教材中是分三个阶段安排的。第一阶段是在初中代数课本内初步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，通过计算函数值、研究正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的慨念和性质，理解函数的概念，并用描点法可以绘制相应函数图象。
  新课本函数一章以及本书的第四章三角函数的内容是中学函数教学的第二阶段，也就是函数概念的再认识阶段，即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质，从而使学生在第二阶段函数的学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养了学生的函数的应用意识，为今后学习打下良好的基础。
  第二阶段的主要内容在本章教学中完成。第三阶段的函数教学是在高中三年级数学的限定选修课中安排的，理科限定选修内容有极限、导数、积分，文科和实科限定选修内容有极限与导数，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的基础知识。
  

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  　数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用，有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用。我们刚学过的函数就是这样的重要概念．

　　在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域．纵览宇宙，运算天体，探索热的传导，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关．正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化．

　　回顾一下函数概念的发展史，对于刚接触到函数的初中同学来说，虽然不可能有较深理解，但无疑对加深理解课堂知识、激发学习兴趣将是有益的．

　　最早提出函数（function）概念的，是１７世纪德国数学家莱布尼茨．最初莱布尼茨用?函数?一词表示幂，如ｘ，ｘ2，ｘ3都叫函数．以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标．

　　１７１８年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量．”意思是凡变量ｘ和常量构成的式子都叫做ｘ的函数．贝努所强调的是函数要用公式来表示．

　　后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准．

　　１７５５年，瑞士数学家欧拉把函数定义为“如果某些变量：“以某一种方式依赖于另一些变量．即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了．由于函数不一定要用式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数．他认为：“函数是随意画出的一条曲线。
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　　当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度．他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数’．

　　１８２１年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数，在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。
  

　　１８３４年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“ｘ的函数是这样的一个数，它对于每一个ｘ都有确定的值 “并且随着ｘ一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的“，这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系以求出每一个ｘ的对应值．

　　１８３７年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立ｘ与ｙ之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于ｘ的每一个值，ｙ总有一个完全确定的值与之对应，则ｙ是ｘ的函数．”这个定义抓住了概念的本质属性，变量ｙ称为ｘ的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的ｙ值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式．这个定义比前面的定义带有普偏性，为理论研究和实际应用提供了方便．因此，这个定义曾被比较长期的使用着．

　　自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了。
   中文数学书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（１８９５年）一书时，把”funcion?译成一函数??, 中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数．”中国古代用天、地、人、物４个字来表示４个不同的未知数或变量．这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量ｘ，则该式子叫做ｘ的函数．”所以“函数”是指公式里含有变量的意思．

　　我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展．。